Як знайти координати перетину прямих

В декартових координатах загальне рівняння прямої виглідіт так: Ax + By + C = 0. Нехай дві прямі перетинаються. Рівняння першої прямої має вигляд Ax + By + C = 0, другий прямий - Dx + Ey + F = 0. Усі коефіцієнти (A, B, C, D, E, F) повинні бути задані.
Щоб знайти точку перетину цих прямих потрібно вирішити систему цих двох лінійних рівнянь.

Для вирішення перше рівняння зручно помножити на E, а друге - на B. В результаті рівняння матимуть вигляд: AEx + BEy + CE = 0, DBx + EBy + FB = 0. Після вирахування другого рівняння з першого, вийде: (AE- DB) x = FB-CE. Звідси, x = (FB-CE) / (AE-DB).
За аналогією перше рівняння вихідної системи можна помножити на D, друга - на A, потім знову з першого відняти другого. В результаті, y = (CD-FA) / (AE-DB).
Отримані значення x і y і будуть координатами точки перетину прямих.

рівняння прямих також можуть записуватися через кутовий коефіцієнт k, що дорівнює тангенсу кута нахилу прямої. У цьому випадку рівняння прямої має вигляд y = kx + b. Нехай тепер рівняння першої прямої - y = k1 * x + b1, а другий прямий - y = k2 * x + b2.

Якщо прирівняти праві частини цих двох рівнянь, то вийде: k1 * x + b1 = k2 * x + b2. Звідси легко отримати, що x = (b1-b2) / (k2-k1). Після підстановки цього значення x в будь-який з рівнянь, вийде: y = (k2 * b1-k1 * b2) / (k2-k1). Значення x і y будуть задавати координати точки перетину прямих.
У разі, якщо дві прямі паралельні або співпадають, то вони не мають спільних точок або мають нескінченно багато спільних точок відповідно. У цих випадках k1 = k2, знаменники для координат точок перетину звертатимуться до нуль, отже, система не буде мати класичного рішення.
Система може мати тільки одне класичне рішення, що природно, так як дві неспівпадаючі і не паралельні один одному прямі можуть мати тільки одну точку перетину.