+ bx + c lt; 0 (або gt; 0). Вирішити нерівність - це знайти такі значення "х", Які задовольняють нерівності. знайдені значення "х" називаються безліччю рішень нерівності. Безлічі рішень нерівностей виражаються у вигляді інтервалів. Існують 3 основні методи вирішення квадратних нерівностей: метод числової прямої, алгебраїчний метод (найпоширеніший) і графічний метод.
кроки
Частина 1 з 3: Рішення квадратних нерівностей (4 кроки)
1
Крок 1. Перепишіть нерівність так, щоб його три члена виявилися на лівій стороні, а на правій стороні напишіть 0.
Приклад. Нерівність: х (6x + 1) lt; 15 перетворіть в 6x + x - 15 lt; 0.
2
Крок 2. Вирішіть квадратне рівняння, яке може бути без коренів, з одним або з двома країнами.
Використовуйте формулу для коренів квадратного рівняння (вірна в будь-яких випадках).
Використовуйте розкладання на множники (в разі раціональних коренів).
Використовуйте додаток до повного квадрата (вірно в будь-яких випадках).
Використовуйте графічний метод (приблизний).
Використовуйте метод суми діагональних елементів.
3
Крок 3. Вирішіть квадратне нерівність на основі значень двох дійсних коренів.
Ви можете вибрати один з двох способів:
Спосіб 1. Використовуйте числову пряму. Нанесіть на неї знайдені коріння. Вони розділять пряму на відрізок і два променя. Завжди використовуйте точку початку відліку в якості контрольного значення. Для цього підставте х = 0 в даний квадратне нерівність. Якщо нерівність дотримано, то початок відліку знаходиться на правильному відрізку (або промені).
Примітка. За допомогою цього методу ви можете використовувати дві або навіть три числові прямі для вирішення систем квадратних нерівностей з однією змінною.
Спосіб 2. Використовуйте алгебраїчний метод.
Залежність знака функції від знака коефіцієнта "а":
Між двох дійсних коренів функція позитивна, якщо "а" негативний.
Між двох дійсних коренів функція негативна, якщо "а" позитивний.
Ви можете зрозуміти цю залежність, подивившись на перетину графіка функції (параболи) з віссю Х. Якщо "а" позитивний, то парабола дивиться вгору. Між двома точками перетину параболи з віссю Х якась частина параболи знаходиться під віссю Х, тобто в цьому інтервалі значень "х" функція негативна (і по знаку протилежна "а").
У цьому методі ви можете побудувати таблицю залежності знака функції від знака "а".
4
Крок 4. Запис відповіді у вигляді інтервалів.
Приклади інтервалів:
(A, b) - відкритий інтервал (кінцеві значення не включені).
[A, b] - замкнутий інтервал (кінцеві значення включені).
(-, b] - напівзамкнений інтервал (значення b включено).
Примітка 1. Якщо квадратне рівняння не має дійсних коренів (дискриминант D lt; 0), то функція завжди позитивна (або завжди негативна, в залежності від знака "а"). Це означає, що безлічі рішень немає або що воно лежить на всій числовій прямій. Якщо дискримінант дорівнює нулю, то безлічі рішень немає, або воно полягає в одному значенні, або воно лежить на всій числовій прямій за винятком одного значення, чи воно лежить на всій числовій прямій.
Приклад: Вирішіть 15x ^ 2 - 8x + 7 gt; 0.
Рішення. Дискримінант D = b ^ 2 - 4ac = 64 - 420 lt; 0. Корній немає. оскільки "а" позитивний, функція завжди позитивна (gt; 0) незалежно від значень "х". Нерівність вірно на всій числовій прямій.
Приклад. Вирішіть -4x ^ 2 - 9x - 7 gt; 0.
Рішення. Дискримінант D = 81 - 112 lt; 0. Корній немає. оскільки "а" негативний, функція завжди негативна незалежно від значень "х". Нерівність рішень не має.
Примітка 2. При вирішенні нестрогих нерівностей (або), у відповіді пишіть замкнуті інтервали (наприклад, [-4,10]), щоб вказати, що два кінцевих значення включені в безліч рішень. При вирішенні строгих нерівностей у відповіді пишіть відкриті інтервали (наприклад, (-4,10)), щоб вказати, що два кінцевих значення не включені в безліч рішень.
Вирішіть квадратне рівняння методом метод суми діагональних елементів.
Згідно з правилом знаків два кореня мають протилежні знаки, так як вільний член і коефіцієнт при x мають протилежні знаки.
Запишіть пари можливих коренів: {-3/2, 5/3}, {-1/2, 15/3}, {-1/3, 15/2}. Твір числителей одно вільному члену (15), а твір знаменників - коефіцієнту при x (6) (знаменники завжди позитивні).
Для кожен пари можливих коренів обчисліть діагональну суму, склавши твір першого чисельника на другий знаменники і твір першого знаменника на другий чисельник. У нашому прикладі діагональні суми: (-3) * (3) + (2) * (5) = 1, (-1) * (3) + (2) * (15) = 27, and (-1) * (2) + (3) * (15) = 43. Так як діагональна сума коренів повинна дорівнювати -b * знак (а) (де "b" коефіцієнт при "х", а "а" - коефіцієнт при x), то корінням рівняння є третя пара: {1/3, -15/2}
4
Для вирішення нерівності скористайтеся залежністю знака функції від знака коефіцієнта "а".
Функція позитивна, так як "а" негативний. Поза цим інтервалу функція негативна. Так як вихідне нерівність - суворе нерівність, кінцеву відповідь запишіть у вигляді відкритого інтервалу, щоб виключити кінцеві значення.
Безліч рішень даного нерівності: (-15/2, 1/3).
Частина 3 з 3: Другий приклад
1
Вирішіть: х (6x + 1) lt; 15.
2
Перепишіть нерівність у вигляді: 6x ^ 2 + х - 15 lt; 0.
3
Два кореня мають протилежні знаки.
4
Запишіть пари можливих коренів: (-3/2, 5/3) (-3/3, 5/2).
Діагональна сума першої пари: 10 - 9 = 1 = b.
Два кореня: 3/2 і -5 / 3.
5
Для вирішення нерівності скористайтеся числової прямої.
6
Підставте х = 0 в нерівність: - 15 lt; 0 - нерівність вірно. Початок відліку лежить в правильному інтервалі, тому безліччю рішень є інтервал (-5/3, 3/2).
7
Спосіб 3. Рішення квадратних нерівностей через побудову графіка.
Відео: квадратні нерівності
Концепція цього методу проста: якщо графік функції (парабола) знаходиться вище осі Х, то нерівність позитивно, і навпаки. При цьому вам не потрібно будувати точний графік - досить просто намалювати приблизну параболу на підставі 2 дійсних коренів. Переконайтеся, що парабола дивиться в правильному напрямку (вгору або вниз).
За допомогою цього методу ви можете вирішувати системи квадратних нерівностей, побудувавши кілька парабол на одній площині координат.
Поради
Під час іспитів ви повинні швидко знайти відповідь. Тому в якості контрольного значення вибирайте х = 0 (якщо 0 не є коренем). У вас немає часу підставляти інші контрольні значення. І немає часу, щоб підставляти знайдені коріння в нерівність.
Примітка. Якщо на іспиті потрібно показати тільки відповідь, а не повне рішення, то скористайтеся алгебраїчним методом вирішення нерівностей (він швидше).
Відео: "МАТЕМАТИКА без проблем". Квадратні нерівності, рішення методом інтервалів.
