Як вирішувати диференціальні рівняння
Рішення диференціальних рівнянь включає застосування похідних. Похідна характеризує швидкість зміни функції при зміні її аргументу, наприклад, швидкість зміни швидкості тіла з часом. Такі зміни часто зустрічаються в повсякденному житті. Наприклад, швидкість накопичення виплат по складним відсоткам пропорційна початковій сумі і задається як dV (t) / dt = rV (t) і V (0) = P, де Р - початкова сума (на рахунку), V (t) - функція, описує залежність поточної суми на рахунку (на якому накопичуються виплати) від часу, r - процентна ставка (dt - гранично малий часовий інтервал, dV (t) - гранично мала сума, на яку V (t) змінюється за цей часовий інтервал, а їх відношення характеризує швидкість накопичення). При вирішенні цього диференціального рівняння отримуємо: V (t) = Pe ^ (rt). Ця стаття розповість вам, як вирішити різні типи диференціальних рівнянь.
Зміст
- кроки
- Відео: Диференціальні рівняння 1-го порядку.
- Відео: Приклад 66. Розв`язати диференціальне рівняння 2 порядки
- Відео: №1 Диференціальні рівняння 1 порядку із перемінними.
- Відео: Лінійні диференціальні рівняння першого порядку. приклад рішення
- Завдання з повсякденності
- Поради
- попередження
- Що вам знадобиться
кроки
Метод 1 з 4: Основи- Перша похідна - похідна функції.
- Друга похідна - похідна від похідної функції.
Відео: Диференціальні рівняння 1-го порядку.
Диференціальне рівняння першого порядку і першого ступеня може бути виражено як Mdx + Ndy = 0, де М і N є функціями х і у. Для вирішення цього диференціального рівняння виконайте наступні дії:
- Позбавтеся від дробів.
- Складіть всі члени з однаковим диференціалом.
- Проінтегріруйте отримане рівняння.
- Спростіть вираз, наприклад, перетворивши логарифми в показники.
- На малюнку нижче наведений приклад рішення диференціального рівняння першого порядку з розділеними змінними.
Відео: Приклад 66. Розв`язати диференціальне рівняння 2 порядки
du / dx + (1-n) p (x) u = (1-n) q (x).
Диференціальні рівняння вищого порядку важче вирішити, за винятком деяких особливих випадків, а саме:
Відео: №1 Диференціальні рівняння 1 порядку із перемінними.
Відео: Лінійні диференціальні рівняння першого порядку. приклад рішення
Завдання з повсякденності
- Зверніть увагу, що це властивість капіталізації відсотків може бути застосовано в багатьох сферах повсякденного життя. Наприклад, ви пропускаєте прісну воду через солоний розчин для зменшення концентрації солі. Скільки води потрібно пропустити і як змінюється концентрація солі в залежності від темпу пропуску води?
Нехай s - концентрація солі у воді в будь-який момент часу, х - обсяг пропускається води, v - обсяг солоного розчину. Концентрація солі у воді задається відношенням s / v. Тепер припустимо, що x - обсяг води, що витекла з розчину, так що кількість витекла солі є (s / v) x. Отже, зміна концентрації солі s задається s = - (s / v) x або s / x = - (s / v). При граничному x-gt; 0 отримаємо ds / dx = -s / v, що є диференціальним рівнянням аналогічним рівнянням, що описує властивість капіталізації відсотків (де у є s, t є х, k є -1 / v). - Закон охолодження Ньютона: швидкість охолодження тіла пропорційна різниці температур між нагрітим тілом і навколишнім середовищем. Якщо х - різниця температур нагрітого тіла і навколишнього середовища, t = час, тоді dx / dt = kx, де k - постійна. Рішенням цього диференціального рівняння є вираз x = ce ^ (kt), де з -довільний постійна. Припустимо, що різниця температур (х) спочатку дорівнювала 80 градусам і стала дорівнювати 70 градусам через хвилину. Чому вона буде дорівнює через 2 хвилини?
Нехай t = час в хвилинах, x - різниця температур в градусах, тоді 80 = ce ^ (k * 0) = c і 70 = ce ^ (k * 1) = 80e ^ k. Таким чином, k = ln (7/8). Виходить, що x = 70E ^ (ln (7/8) t) - приватне рішення цього завдання. Тепер підставимо t = 2 і отримаємо x = 70E ^ (ln (7/8) * 2) = 53.59 градусів через 2 хвилини. - Швидкість хімічної реакції, в якій x - кількість речовини, перетворене на час t, визначається швидкістю зміни х. Нехай а - концентрація на початку реакції, тоді dx / dt = k (a-x), де k - постійна, що характеризує швидкість, а (a-x) - залежна змінна. d (a-x) / dt = -k (a-x), тому d (a-x) / (a-x) = -kdt. Проинтегрируем і отримаємо ln (a-x) = -kt + a, так як a-x = a при t = 0. Звідси знаходимо k = (1 / t) ln (a / (a-x)).
- В електричному ланцюзі з опором R і індуктивністю L, спожите напруга V (При силі струму i) Виражається рівнянням: V=iR + L (di / dt) або di / dt = (V - iR) /L, де V - iR - залежна змінна.
- Узагальнене гармонійнеколивання в диференціальному вигляді записується як: ds/dt + ks = 0, де s - зміщення (відхилення) хитається точки від положення рівноваги в момент часу t, а k - циклічна частота коливань. Рішення цього рівняння: s = c1cos kt + c2sin kt.
Воно спрощується підстановкою c1 = B sin A, c2 = B cos A: s = b sin A cos kt + b cos A sin kt. Згідно з правилами тригонометрії sin (x + y) = sin x cos y + cos x sin y, тому s = B sin (kt + A). - Коливання тіла масою m на пружині. Згідно із законом Гука, при деформації пружини на s одиниць від своєї первісної довжини (або положення рівноваги), виникає сила пружності F, пропорційна цій деформації. Тобто F = -ks. За другим законом Ньютона (сила дорівнює масі, помноженої на прискорення), отримуємо m ds/dt = -ks, або m ds/dt + ks = 0, що є записом гармонійного коливання в диференціальному вигляді.
Застосовуємо формулу для вирішення квадратного рівняння і отримуємо: r1 = (-c+ sqrt (c- 4mk)) / 2m- r2= (-c - sqrt (c - 4mk)) / 2m.
- Сверхкритическое загасання. якщо c - 4mk gt; 0, r1 і r2 дійсні і різні. Рішення: s = c1e ^ (r1t) + c2e ^ (r2t). Так як c, m, і k - позитивні, sqrt (c - 4mk) Повинен бути менше, ніж c- це означає, що обидва кореня r1 і r2 - негативні і функція експоненціально убуває. У цьому випадку коливання не відбуваються. Сильна сила опору може бути забезпечена, наприклад, середовищами з високою в`язкістю.
- Критичне загасання. якщо c - 4mk = 0, r1 = r2 = -c / 2m. Рішення: s = (c1 + c2t) e ^ ((- c / 2m) t). Функція як і раніше експоненціально убуває, і коливань не спостерігається. Однак найменше зменшення сили опір призведе до коливань тіла.
- Докритичний загасання: Якщо c - 4mk lt; 0, коріння є комплексними і задаються як -c / 2m +/ - i, де = sqrt (4mk - c)) / 2m. Рішення: s = E ^ (- (c / 2m) t) (c1 cos t + c2 sin t). Це коливання загасає при e ^ (- (c / 2m) t. Так як c і m позитивні, e ^ (- (c / 2m) t) прямує до нуля при t, прагне в нескінченність. Таким чином, коливання будуть затухати.
Поради
- Підставте ваше рішення у вихідне диференціальне рівняння, щоб перевірити правильність рішення.
- Багато диференціальні рівняння не можуть бути вирішені вищезгаданими методами. Однак, наведених вище методів цілком достатньо для вирішення найбільш часто зустрічаються рівнянь.
- Пам`ятайте: зворотне диференціювання дію називається інтегруванням, яке має на увазі підсумовування результатів, що залежать від постійно мінливих величин, наприклад, обчислення пройденого тілом відстані, коли відомі його миттєві швидкості в певний час.
попередження
- На відміну від диференціювання, в якому можна знайти похідну будь-якого даного виразу, інтегрування багатьох виразів - нелегке завдання. Тому не витрачайте час і подивіться в таблицю інтегралів. Рішення диференціального рівняння вважається закінченим, коли воно було спрощено до вираження, що включає інтеграли (при цьому не важливо, можна інтегрувати цей вислів чи ні).
Що вам знадобиться
- папір
- Ручка або олівець
- таблиці інтегралів