Як зробити згортку

Функція f (t), де tgt; = 0, називається оригіналом, якщо: вона кусочно-безперервна або має кінцеве число точок розриву першого роду. При t0, S0gt; 0, S0 - зростання оригіналу).
Кожному оригіналу можна поставити у відповідність функцію F (p) комплексної змінної значення р = s + iw, яка задається інтегралом Лапласа (див. Рис.1) або перетворенням Лапласа.

Функція F (p) називається зображенням оригіналу f (t). Для будь-якого оригіналу f (t) зображення існує і визначено в півплощині комплексної площині Re (p) gt; S0, де S0 - показник зростання функції f (t).

Тепер розглянемо поняття згортки.

Визначення. Сверткой двох функцій f (t) і g (t), де tgt; = 0, називається нова функція аргументу t, що визначається виразом (див. Рис. 2)

Операція отримання згортки називається згортанням функцій. Для операції згортки функцій виконуються всі закони множення. Наприклад, операція згортки має властивість коммутативности, тобто згортка не залежить від порядку, в якому беруться функції f (t) і g (t)
f (t) * g (t) = g (t) * f (t).

Приклад 1. Обчисліть згортку функцій f (t) і g (t) = cos (t).
t * cost = int (0-t) (scos (t-s) ds)

Інтегруючи вираз по частинах: u = s, du = ds, dv = cos (t-s) ds, v = -sin (t-s), ви отримаєте:
(-s) sin (t-s) | (0-t) + int (0-t) (sin (t-s) ds = cos (t-s) | (0-s) = 1-cos (t).

Теорема множення зображень.

Якщо оригінал f (t) має зображення F (p), а g (t) - G (p), то твір зображень F (p) G (p) є зображення згортки функцій f (t) * g (t) = int (0-t) (f (s) g (ts) ds), тобто для твору зображень існує згортка оригіналів:
F (p) G (p) =: f (t) * g (t).

Теорема множення дозволяє знаходити оригінал, відповідний твору двох зображень F1 (p) і F2 (p), якщо відомі оригінали.

Для цього існують спеціальні і вельми обширні таблиці відповідності оригіналів та зображень. Ці таблиці є в будь-якому математичному довіднику.

Приклад 2. Знайдіть зображення згортки функцій exp (t) * sin (t) = int (0-t) (exp (t-s) sin (s) ds).

По таблиці відповідності оригіналів та зображень оригіналу sin (t): = 1 / (p ^ 2 + 1), а exp (t): = 1 / (p-1). Значить, відповідне зображення буде мати вигляд: 1 / ((p ^ 2 + 1) (p-1)).

Приклад 3. Знайдіть (можна в інтегральному вигляді) оригінал w (t), зображення якого має вигляд
W (p) = 1 / (5 (р-2)) - (р + 2) / (5 (р ^ 2 +1), перетворивши це зображення на витвір W (p) = F (p) G (p) .
F (p) G (p) = (1 / (p-2)) (1 / (p ^ 2 + 1)). За таблицями відповідності оригіналів та зображень:
1 / (p-2) =: exp (2t), 1 / (p ^ 2 + 1) =: sin (t).

Шуканий оригінал w (t) = exp (2t) * sint = sint int (0-t) (exp (2 (t-s)) sin (s) ds), тобто (див. Рис.3):

Відео: Згортка бази